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      數學精神

      2012-02-17http://www.infzm.com本文被閱讀過3979455次[推薦][打印][保存][大字體][中字體][小字體]

        經典的數學優美,現代的數學除了優美,更有壯美。然而數學的精神,自從發皇于古希臘,古今一貫,從未中絕,一切的現代學問中,最能守持古典精神的,仍是數學。

        一、“數學好玩”

        陳省身先生去世八年了,但是讀《陳省身傳》,使我覺得這位大數學家仍然活著,聲音笑貌,宛然目前。書中引了一首楊振甯的舊體詩,幾千年的幾何學曆史,最簡練的概括,就在詩句裏:“千古寸心事,歐高黎嘉陳。”

         《陳省身傳》(修訂版),張奠宙、王善平著,南開大學出版社 2011年10月,68元

        幾何學真的只是“寸心事”,幾何學的曆史真的只是“寸心”的傳承與光大,而這“寸心”能運用于萬彙物理,天衣有縫,依其剪接,微子聚力,賴其籠絡,又真的是“渾然歸一體,廣邃妙絕倫”。陳省身自謙“羅漢”,但在幾何學的殿堂裏,他實在是一尊端坐于歐幾裏得、高斯、黎曼和嘉當之列的菩薩。《陳省身傳》初版于傳主的生前,這次修訂再版,若幹的增補中有一則趣事:陳省身臨終前不久曾爲少年數學愛好者題詞:“數學好玩”;佛菩薩真的是觸處見機,咳唾都是“心法”啊。

        《陳省身傳》的兩位作者,主筆的是張奠宙教授。張教授是在泛函分析研究上取得過驕人成績的數學專家,又是一位胸有全局的數學通人。“文革”結束不久,在國門依舊封閉的情況下,他就開始全面考察世界現代數學的發展和成就,曆史軌迹和數學思想並重,所成《二十世紀數學史話》,啓迪人至深,當時陳省身就非常稱贊並著力推介。2002年,張教授又成《二十世紀數學經緯》一書,內容加深加廣,構思闊大,論述精到,較之“史話”,俨然一部有規模的現代數學通史了。《陳省身傳》的另一位作者王善平是張教授的學生,他說自己“只是收集整理材料;當然,學到了很多”。是的,這樣的書,就是讀一遍,就是隨便翻翻,也能“學到很多”,更不必說“整理材料”,參與寫作了;這樣的經驗是那些爲了“對得起”經費的課題寫作無法比擬的。

        兩位作者還編過一本《陳省身文集》,主要收集陳省身的研究性論文之外的文字,但例外地收了陳省身自稱“我一生最得意的工作”——《閉黎曼流形高斯-博內公式的一個簡單的內蘊證明》一文;是王善平從美國《數學紀事》(Annals of Mathematics)1944年卷中譯過來的。2002年8月,第24屆國際數學家大會在北京召開,張奠宙校、王善平譯的《數學無國界》一書同時出版,這本書講述一百年間國際數學家大會以及主辦大會的國際數學聯盟的曆史,作者是曾任聯盟主席的奧利·來赫托。書名傳達了數學的真精神。2011年,爲了紀念陳省身百年誕辰而出版的《陳省身與幾何學的發展》一書,編輯工作主要也是由王善平擔任。這些書可以互相“鏈接”,不同需求的讀者自能各取所需,開卷得益。

        二、“經典的”與“現代的”

        陳省身是一位不世出的幾何學家,他有偉大的貢獻。記得“文革”中毛主席會見楊振甯,曾說:“你是對人類作了貢獻的人,我不是。”如果他會見陳省身,也當如是說。

        衆所周知,幾何學是研究空間的性質和結構的。憑人類生而俱來的肉身感官,人們也許覺得空間很簡單,還不是四方上下平直均勻無限延伸,有什麽結構,談什麽性質。但是,一經數學用符號和數量關系把空間改制爲抽象的、思想上的對象或實體,就大有文章可做了。

        高斯用微積分的觀點和方法,處理嵌在平直空間裏的曲面,所得結果使思維進入新的層面:有充分的理由把曲面本身看作“內蘊空間”。空間就是曲面,曲面就是空間。人類直觀到的三維空間,無非是加上時間以後四維空間裏的一個“曲面”,或者說“超曲面”。空間可以是不平直的,可以處處有“曲率”;平直空間不過是曲率爲0的曲面。

        愛因斯坦研究引力作用、建立廣義相對論時,已經有黎曼的曲面上的微分幾何在等著他,愛翁是經由他的好朋友格羅斯曼的介紹,認識黎曼幾何的。“廣相”的結論竟然是:引力作用不是什麽物與物之間的互相“吸引”,而是空間的“曲”性有以致之。

        曲率是曲面的局部性質,曲面還有整體結構。同爲橡膠制品,足球和汽車輪胎的表面顯然是整體結構不同的;輪胎倒是和面包圈結構相同。不難想見,曲面的整體結構可以非常複雜,複雜到無以複加。所以微分幾何先是研究曲面的局部性質,而後才發展出整體微分幾何。整體微分幾何需要用拓撲的觀點看曲面,把它定義爲“流形”(manifold)。

        整體微分幾何的興起和發展,是一個起死回生的過程。1943年陳省身初到普林斯頓,外出赴會,火車上邂逅一位美國有名的數學家。傾談間,那位數學家聽陳省身說是研究微分幾何的,隨口應道:“Oh!它死了!”經典微分幾何在曲面局部性質上取得了許多優美成果,但因觀點、方法、工具限于分析(即微積分)的範圍,發展已臻止境,是死了。但這是火鳳凰之死,她會重生,她會在更高的拓撲觀點的觀照下,在拓撲、代數、分析諸多工具的錘煉下重生。陳省身就是現代微分幾何一位最重要的催生者和奠基者。

        數學有“經典的”與“現代的”之分。發思古幽情的現代人,往往喜歡“經典的”東西,不喜歡“現代的”東西,文章、藝術、建築,無不是古勝于今。數學不同,數學顯然是“現代的”勝于“經典的”,現代數學把經典數學吃進去了,消化掉了,幾乎沒有排出什麽“糟粕”;經典的數學優美,現代的數學除了優美,更有壯美。然而數學的精神,自從發皇于古希臘,古今一貫,從未中絕,一切的現代學問中,最能守持古典精神的,仍是數學。菲爾茨獎沒有獎金,只有獎章,但它是數學界的最高榮譽,獎章上刻著的是古希臘阿基米德的頭像。

        1943年至1946年,不到三年間,陳省身在普林斯頓從事現代微分幾何的奠基工作,使得關于流形整體結構的纖維叢理論基本成形。他把高斯-博內公式從二維推廣到高維;他把歐拉-龐加萊示性數、施蒂菲爾-惠特尼示性類等刻畫整體的概念和局部的曲率聯系起來;他又把一般微分流形的球叢推廣到複流形上的複球叢,引進了一種全新的示性類,後來稱爲“陳類”(Chern Class),時至今日,陳類已經是現代數學中的一個基本概念。

        1945年夏,陳省身在美國數學會大會上作題爲“大範圍微分幾何若幹新觀點”的報告,系統闡述了整體微分幾何的新思想和新方法。老一輩的拓撲學和幾何學權威霍普夫聽後評論說:“這篇演講表明大範圍微分幾何的新時代開始了。這個新時代以纖維叢的拓撲理論和嘉當外微分方法的綜合爲特征。”半個世紀後,美國數學家辛格表達了所有追隨和接續陳省身工作的學生後輩的共識:“陳省身就是現代微分幾何。”菲爾茨獎得主邱成桐更明白宣示:“現代微分幾何,嘉當是祖,陳省身是父。”

        嘉當是陳省身的老師,他的外微分方法是一根“魔杖”,真懂和能用的人很少,連堪稱希爾伯特之後最大數學家的外爾都說:“嘉當的書難讀。”但陳省身掌握了這根魔杖,獨得之秘,運用自如。1991年張奠宙問過陳省身:“現在大家都能夠很好地理解嘉當的思想了嗎?”陳省身回答:“不一定。我可以保留這種秘密武器,別人做不出的結果,我可以做出來。”

        1984年,陳省身獲沃爾夫獎,這個獎可以與菲爾茨獎並列,是數學的終身成就獎,頒獎詞特別指出:“他在整體微分幾何上的卓越貢獻,其影響遍及整個數學。”被認爲20世紀兩項最偉大的數學成就之一的阿蒂亞-辛格指標定理(另一個是費爾馬大定理的證明),也是以陳省身的工作爲基礎的。辛格在賀陳省身八十壽辰的文章中說:“對陳省身在局部和整體幾何中能如此有效地運用微分形式感到驚異。”這所謂“微分形式”,就是陳省身的獨得之秘,嘉當的魔杖。陳省身的同行們推崇他對現代幾何的貢獻,同時也欣羨他“對豐富和美麗的經典幾何十分娴熟,這在數學界已經非常罕見”。

       

      (作者:陳克艱)
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